buzlu.org

Rönesans sonrası Avrupa’da, Kopernik’le baÅŸlayan, Kepler, Galileo ve Newton’la 17. yüzyılda doruÄŸuna ulaÅŸan bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, güneÅŸ-merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik’i öncelemiÅŸti; ArÅŸimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo’ya esin kaynağı olmuÅŸtu; Öklid çaÄŸlar boyu yalnız matematik dünyasının deÄŸil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti.

Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiÄŸi) ispat baÄŸlamında aksiyomatik bir dizge olarak iÅŸleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler’in, kimi yetersizliklerine karşın, deÄŸerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir.

Egeli matematikçi Öklid’in kiÅŸisel yaÅŸamı, aile çevresi, matematik dışı uÄŸraÅŸ veya meraklarına iliÅŸkin hemen hiçbir ÅŸey bilinmemektedir. Bilinen tek ÅŸey; Ä°skenderiye Kraliyet Enstitüsü’nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eÅŸsiz kalan bir ders kitabının yazan olmasıdır. EÄŸitimini Atina’da Platon’un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriÅŸ kapısında, “Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!” levhası asılıydı.

Öklid’in bilimsel kiÅŸiliÄŸi, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy, okumada güçlük çektiÄŸi Elementler’in yazarına, “Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?” diye sorduÄŸunda, Öklid “Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur” der. Bir gün dersini bitirdiÄŸinde öğrencilerinden biri yaklaşır, “Hocam, verdiÄŸiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?” diye sorduÄŸunda, Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır, “Bu delikanlıya 5-10 kuruÅŸ ver, vaktinin boÅŸa gitmediÄŸini görsün!” demekle yetinir.

Öklid haklı olarak “geometrinin babası” diye bilinir; ama geometri onunla baÅŸlamış deÄŸildir. Tarihçi Herodotus (M.Ö. 500) geometrinin baÅŸlangıcını, Nil vadisinde yıllık su taÅŸmalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalışmalarında bulmuÅŸtu. Geometri “yer” ve “ölçme” anlamına gelen “geo” ve “metrein” sözcüklerinden oluÅŸan bir terimdir. Mısır’ın yanı sıra Babil, Hint ve Çin gibi eski uygarlıklarda da geliÅŸen geometri o dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölçme, analoji ve sezgiye dayanan bir yığın iÅŸlem ve bulgudan ibaret çalışmalardı. Ãœstelik ortaya konan bilgiler çoÄŸunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde kalan sonuçlardı.

ÖrneÄŸin, Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarak biliyorlardı. Bu öylesine yerleÅŸik bir bilgiydi ki; pi’nin deÄŸerinin 3 deÄŸil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür ÅŸarlatan gözüyle bakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.Ö. 1800 yıllarına ait Rhind papürüslerinde onların pi’yi yaklaşık 3.1604 olarak belirledikleri görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doÄŸru sonuçlar ortaya koyduÄŸu söylenemez. Nitekim, kesik kare piramidin oylumunu (hacmini) hesaplamada doÄŸru formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doÄŸru olan bir alan formülünün, tüm dörtgenler için geçerli olduÄŸunu sanıyorlardı.

Aritmetik ve cebir alanında Babilliler, Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli buluÅŸları vardı. ÖrneÄŸin, “Pythagoras Teoremi” dediÄŸimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya iliÅŸkin önerme “bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eÅŸittir” buluÅŸlarından biriydi. Ne var ki, doÄŸru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aÅŸamasına geçilememiÅŸti henüz.

Ege’li Filozof Thales’in (M.Ö. 624-546), geometrik önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereÄŸini ısrarla vurguladığı, bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir. Mısır gezisinde tanıştığı geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, saÄŸlam bir temele oturtmak istiyordu. Ä°spatladığı önermeler arasında; ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eÅŸitliÄŸi; kesiÅŸen iki doÄŸrunun oluÅŸturduÄŸu karşıt açıların biribirine eÅŸitliÄŸi vb. iliÅŸkiler vardı.

Klasik çağın “Yedi Bilgesi”nden biri olan Thales’in açtığı bu yolda, Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemeler kaydetti, sonuçta Elementler’de iÅŸlenildiÄŸi gibi, oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulaÅŸtı. Pythagoras, matematikçiliÄŸinin yanı sıra, sayı mistisizmini içeren gizliliÄŸe baÄŸlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre; sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliÄŸiydi; ruhun yücelip tanrısal kata eriÅŸmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

BuluÅŸ ve ispatlarıyla matematiÄŸe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar, sonunda inançlarıyla ters düşen bir buluÅŸla açmaza düştüler. Bu buluÅŸ, karenin kenarı ile köşegenin ölçüştürülemeyeceÄŸine iliÅŸkindi. gibi, bayağı kesir ÅŸeklinde yazılamayan sayılar, onların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldi. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus oluÅŸturduÄŸu, irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan, Orantılar Kuramı’yla giderir).

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuştu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüşmüştü. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti.

KuÅŸkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediÄŸi demek deÄŸildi. Tam tersine, deÄŸiÅŸik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiÄŸi; ama Elementler’in, eÄŸreti olarak deÄŸindiÄŸi bazı örnekler dışında, uygulamalara yer vermediÄŸi de bilinmektedir.Öklid’in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneÄŸe dönüşmüştür.

Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.

Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?

Öklid’i bu giriÅŸiminde güdümleyen motiflerin ne olduÄŸunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne alındığında, baÅŸlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir:

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek;

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarım belirtik kılmak;

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek);

4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyim aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunlukları a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler).

Öklid oluÅŸturduÄŸu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beÅŸi “aksiyom” dediÄŸi genel ilkeden, beÅŸi de “postulat” dediÄŸi geometriye özgü ilkeden oluÅŸan, on öncüle yer vermiÅŸtir (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doÄŸru sayılan önermelerdir). Dizge tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeÅŸitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, “nokta”, “doÄŸru”, vb. ilkel terimlere iliÅŸkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu.

Ne var ki, matematiksel yöntemin oluÅŸma içinde olduÄŸu baÅŸlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek ÅŸeyler deÄŸildi. Nitekim, 18. yüzyılda baÅŸlayan eleÅŸtirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük saÄŸladığı söylenebilir. Ãœstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir geliÅŸmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı deÄŸiÅŸikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. “Öklid-dışı” diye bilinen bu geometriler, saÄŸduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri deÄŸildir. Öyle de olsa, Öklid’in düşünce tarihinde tuttuÄŸu yerin deÄŸiÅŸtiÄŸi söylenemez.

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell’ın ÅŸu sözlerinde Öklid’in özlü bir deÄŸerlendirmesini bulmaktayız: “Elementler’e bugüne deÄŸin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekâsının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok deÄŸildir, kuÅŸkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluÅŸturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuÅŸku götürmez apaçık doÄŸrular olarak konmuÅŸtur. Oysa, 19. yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç deÄŸilse bir bölümünün yanlış olabileceÄŸini, bunun da ancak gözleme baÅŸvurularak belirlenebileceÄŸini göstermiÅŸtir.”

Gene Genel Rölativite Kuramı’nda Öklid geometrisini deÄŸil, Riemann geometrisini kullanan Einstein’ın, Elementler’e iliÅŸkin yargısı son derece çarpıcıdır: “GençliÄŸinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceÄŸi hayaline boÅŸuna kapılmasın!”