Paul Adrien Maurice Dirac (8 Ağustos 1902 – 20 Ekim 1984), İngiliz fizikçi ve matematikçi. Kuvantum fiziğinin kurucularındandır. Diğer önemli keşiflerinin yanında fermionların davranışını açıklayarak antimaddenin keşfine olanak veren ve kendi adı verilen Dirac eşitliği’ni yaratmıştır. Dirac 1933 Nobel Fizik Ödülü’nü Erwin Schrödinger ile paylaşmıştır.

Hayatı
Gençlik yılları

Paul Dirac İngiltere’nin Bristol kentinde, Bishopston kasabasında doğdu ve büyüdü. Babası Charles Dirac İsviçre’nin Valais kantonundan gelmiş bir göçmendi ve geçimini Fransızca öğretmenliği yaparak sağlıyordu. Annesi Cornwall’luydu ve bir denizcinin kızıydı. Paul’un Felix adında, Mart 1925′te intihar eden bir ağabeyi ve Beatrice adında bir kız kardeşi vardı. Babasının sert ve otoriter tavırları yüzünden çocukluk yılları pek de neşeli geçmemişti.

Eğitimine Bishop Road İlkokulunda başladı, daha sonra da babasının öğretmenlik yaptığı Merchant Venturers’ Teknik Kolejine (daha sonra adı Cotham Gramer Okulu olarak değişti) devam etti. Merchant Venturers’ ağırlıklı olarak fen ve çağdaş diller eğitimi veren Bristol Universitesi’ne bağlı bir kuruluştu. Bu o zamanın Birleşik Krallığında genellikle klasikleri öğreten ortaeğitim kurumlarıyla karşılaştırıldığında ilginçti ve Dirac daha sonra buna çok müteşekkir olduğunu açıklayacaktı.

Dirac Bristol Üniversitesi’nde elektrik mühendisliği okudu ve 1921′de mezun oldu. Daha sonra asıl ilgilendiği konunun matematik olduğunu anlayarak 1923′te Bristol’de matematik yüksek eğitimini tamamladı ve St John’s College, Cambridge’de araştırma yapması için bir çağrı aldı. Hayatının uzunca bir kısmı burada geçecekti. Cambridge’deyken, Ralph Fowler’ın yardımlarıyla Bristol’de ilgilenmeye başladığı genel görelilik teoremi ve henüz yeni yeşermekte olan bir dal olan kuvantum fiziği ile ilgilendi.

Orta yaşları

Dirac klasik mekanikte kullanılan Poisson parantezleri metoduyla, kuvantum mekaniği için Werner Heisenberg tarafından yeni önerilen matris mekaniği arasında benzerlikler farketti. Bu gözlem üzerine yaptığı 1926 tarihli yayınla Cambridge’den Ph.D. ünvanını aldı.

1928′de Wolfgang Pauli’nin göreli olmayan spin sistemleri üzerine çalışmasına dayanarak, elektron’un dalga fonksiyonu için göreli bir hareket denklemi olan Dirac denklemi’ni oluşturdu. Bu çalışma Dirac’ın, elektron’un antiparçacığı olan pozitron’un varlığını tahmim etmesine yol açtı. Pozitron Carl Anderson tarafından 1932′de gözlemlendi. Dirac’ın denklemi aynı zamanda spin kavramının görelilik çerçevesine oturtulmasına da yardım etmiştir. Bu çalışması sayesinde Dirac, kuvantum elektrodinamiği terimini ilk kez kullanan ve bu dalı kuran kişi olarak tarihe geçti.

Dirac’ın 1930′da basılan Kuvantum Mekaniğinin Kuralları isimli kitabı bilim tarihinde bir mihenk taşıdır. Basıldıktan hemen sonra konuyu öğretmek için kullanılan standart kitap haline geldi ve bugün hala kullanımdadır. Bu kitapta Dirac Werner Heisenberg’in “Matrix Mekaniği”nde ve Erwin Schrödinger’in “Dalga Mekaniği”’nde yaptığı çalışmaları, ölçülebilir değerler ile fiziksel sistemin durumunu betimleyen vektörlerin Hilbert uzayına etki eden operatörleri ilişkilendirdirerek tek çatı altında topladı. Kitapta daha sonra evrenselleşecek olan bra-ket notasyonu ismi verilen notasyonu ve Dirac delta fonksiyonunu da ilk kez kullandı.

1931′de Dirac tek bir manyetik tekkutuplunun varlığının elektriksel yükün kuvantizasyonunu açıklayacağını kanıtladı. Bu kanıt çok ilgi görse de bugüne kadar bir manyetik tekkutuplunun varlığına dair hiç bir bilgi edinilemedi.

1937′de Eugene Wigner’ın kızkardeşi Margit ile evlendi. Margit’in iki çocuğu Judith ve Gabriel’ı da evlat edindi. Ayrıca Margit’ten Mary Elizabeth ve Florence Monica isimlerinde iki kızı oldu.
İleri yaşları

Dirac 1932′den 1969′a kadar Cambridge’de Matematik Lucasian Profesörlüğü onursal ünvanını elinde tuttu. II. Dünya Savaşı sırasında gaz santrifujü kullanarak uranyum zenginleştirme üzerine teorik ve deneysel çalışmalar yürüttü. 1937′de Dirac büyük sayıları hipotezi üzerine kurulu kozmolojik modelini geliştirdi. Dirac, “İyi bir teori olarak kabul ettiğimiz kuvantum teorisinde sonsuzlukları ihmal ediyor olmamız beni çok rahatsız ediyor.

Bu mantıklı değil. Mantıken matematikte bir değeri çok küçük olduğu için ihmal edersiniz, sonsuz büyüklükte olduğu ve onu istemediğimiz için değil.” diye yazmıştı. Kuvantum alan teorisinde ortaya çıkan sonsuzluklarla başa çıkmak için kullanılan renormalizasyon yaklaşımından hiç memnun değildi ve bu konudaki çalışmaları gitgide ana akımın dışında kalmaya başladı. Büyük kızı Mary’ye yakın olmak için Florida’ya taşındıktan sonra Dirac hayatının son on yılını Tallahassee, Floridadaki Florida Eyalet Üniversitesi’nde geçirdi.

Öğrencilerinden John Polkinghorne Dirac’a temel inancının ne olduğunun sorulduğunu hatırlıyor. “Tahtaya yürüdü ve doğa kanunlarının güzel denklemlerle ifade edilmesi gerektiğini yazdı.”
Ölümü ve sonrası

1984′te Dirac Tallahassee, Florida’da öldü. 1997′de Florida Eyalet Üniversitesi’nde son doktora öğrencilerinden Dr.Bruce Hellman teorik fizikteki önemli çalışmaları ödüllendirmek için Dirac’ın adına Dirac-Hellman ödülü’nü başlattı.

Aynı zamanda Uluslararası Teorik Fizik Merkezi de Dirac ödülü adında bir ödül vermeye başladı. 1995′te Londra’daki Westminster Abbey’de onuruna hazırlanan, üzerinde Dirac denkleminin olduğu bir plaka Stephen Hawking’in konuşmasıyla açıldı. Babasının memleketi olan İsviçre Saint-Maurice’te tren istasyonun karşısına, Dirac onuruna bir hatıra parkı yapıldı.

Ödüller

Paul Dirac 1933′te Nobel Fizik Ödülü’nü “atom teorisinin yeni üretken biçimlerini keşfinden dolayı” Erwin Schrödinger ile paylaştı. [1] Dirac 1939′da Kraliyet Madalyası ve 1952′de Copley Madalyası ve Max Planck Madalyası’nı da aldı.

1930′da Royal Society, 1948′de American Phsical Society üyesi seçildi.

Ölümünden hemen sonra iki önemli fizik kurumu adına ödül düzenledi. Birleşik krallığın profesyon fizikçilerinden oluşan Fizik enstitüsü adına Paul Dirac Madalyası’nı düzenledi. Bu madalyayı alan ilk üç kişi 1987′de Stephen Hawking, 1988′de John Bell ve 1989′da Roger Penrose oldu. Abdus Salam Uluslararası Teorik Fizik Merkezi (ICTP) ICTP her sene Dirac’ın doğumgününde verilen Dirac Maladyasını düzenledi.

Tallahassee, Florida’daki Ulusal Yüksek Manyetik Alan Laboratuarı’nın bulunduğu caddeye Paul Dirac Drive ismi verildi. İngiliz yayın kuruluşu BBC video codec’ini Dirac olarak adlandırdı. Popüler bir TV dizisi olan Doctor Who’daki Adric karakterinin adı da Dirac’a gönderme yaptı. (Adric Dirac’ın anagramıdır).
Kişiliği

Dirac arkadaşları arasında sakin ve titiz kişiliği ile tanınırdı. Niels Bohr yazdığı bir bilimsel makaledeki cümlenin sonunu bir türlü tamamlayamadığından şikayet ettiğinde Dirac, “Bana okulda asla sonunu bilmediğim bir cümleye başlamamayı öğrettiler” diye yanıtlamıştı.  SSCB’yi ziyaret ettiği sıra fizik felsefesi üzerine bir konferans düzenlemek üzere bir davet aldı. Sadece kalkıp tahtaya “Fizik kanunları matematiksel güzellik ve basitliğe sahip olmalıdır” yazdı.  Şiir hakkındaki görüşleri sorulduğunda “Bilimde insan daha önce kimsenin bilmediği bir şeyi herkesin anlayabileceği şekilde anlatmaya çalışır. Şiirde durum tam tersidir.”

Eugene Wigner, Dirac’ın eniştesi bir keresinde Richard Feynman’ı “başka bir Dirac, ama bu sefer insan” diye tanımlamıştır.

Dirac alçakgönüllülüğüyle de tanınırdı. Kuvantummekaniksel operatörlerin zamanda gelişimi hakkındaki denklemi ilk yazan kendisi olduğu halde “Heisenberg hareket denklemi” ismini vermiştir. Birçok fizikçi yarım spinli parçacıklar için Fermi-Dirac istatistikleri ismini kullanırken, tam sayı spinli parçacıklar için Bose-Einstein istatistikleri tanımını kullanır. Dirac verdiği bir konferansta ilkine “Fermi istatistikleri” isminin verilmesinde ısrar etmiştir. Diğerinin de “Einstein istatistikleri” olarak adlandırılmasını istemiştir ve sebebi sorulduğunda “simetri” yüzünden olduğunu belirtmiştir.

Wolfgang Pauli, Dirac’ın dini görüşleri üzerine bir soru sorulduğunda “Eğer Dirac’ı doğru anladıysam, anlatmaya çalıştığı şey şuydu: Tanrı yoktur ve Dirac onun elçisidir.”

Dirac bir keresinde örgüde kullanılan “ters dikiş”‘i yeniden keşfetmişti. Bir arkadaşıyla fizik hakkında konuşurken, arkadaşının karısını örgü örerken görmüştü. Daha sonra ilmeğin topolojisini inceleyerek bunu yapmanın bir yolu daha olduğunu farketti. Aynı zamanda gördüğü ve kendi yarattığı alternatiften başka olasılık olmadığını da kanıtladı.
Önemli eserleri

* Principles of Quantum Mechanics (1930): Bu kitap kuvantum mekaniği kavramlarını büyük kısmını Dirac’ın kendi geliştirdiği modern metodla anlatıyor. Kitabın sonlarına doğru öncülüğünü yaptığı elektronun göreli teorisinden de bahsediyor. Bu eser o zamanlar kuvantum mekaniği üzerine yazılmış hiç bir yayını kaynak göstermemiştir.
* Lectures on Quantum Mechanics (1966): Çoğunlukla eğri uzayzaman’da kuvantum mekaniği ile ilgili bir kitap.
* General Theory of Relativity (1975): Bu 68 sayfalık eser Einstein’ın genel görelilik teorimini özetliyor.

buzlu.org

Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlılara ait olanıdır. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 3300 yılına kadar geri gider. Böylece, Mısırlılar ortalama 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Eski Mısırlılara ait sayma sistemi, ilkçağ mağara, insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.

Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz, zamanımıza kadar intikal etmiş papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö. 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan Hiksoslar Devrinden M.Ö. 1788-1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir. Mısır matematiği hakkındaki diğer kaynaklar, birkaç parşömen tomarı ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadır.

Eski Mısır’da rakam ve sayılar bazı sembollerin (şekillerin) yan yana gelmesiyle ortaya çıkıyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin bir araya gelmesiyle ifade ediliyordu. Örneğin: 1 için (yukardan aşağı düşey bir çizgi), 10 için (at nalı şekli), 100 için (Çengel işareti) şekillerini kullanmışlardır. l.000, 10.000 ve 1.000.000 için de değişik semboller kullanmışlardır, ve yazım biçimi de, sağdan sola doğru ifade ediliyordu.

Sayıları da, bu sembollerle göstererek bir sayı sistemi geliştirmişlerdir. Eski Mısırlıların, 1 den 1.000.000 a kadar olan sayıları göstermek ve yazmak için kullandıkları semboller (şekiller) yukarıda gösterilmiştir.

Tablonun incelenmesinden anlaşılacağı gibi, 9 sayısını ifade etmek için, 9 ayrı şekil, 90 sayısını ifade edebilmek için, 9 adet başka bir şekil; 99 için 18 aynı şekil, 999 sayısı için ise, 27 ayrı şekil (sembol) kullanmak gerekli olmaktadır.

buzlu.org

Numeroloji (sayıbilim), astroloji (yıldızbilim) gibi tamamlayıcı unsurları olan, gerektiğinde bir arada, gerektiğinde ayrı ayrı ele alınabilen, kişiyi ve kişinin geleceğini açıklamayı hedefleyen bir sanattır. Astroloji gibi numeroloji’nin temelleri de antik uygarlıklara, antik düşünceye dayanır ve Ortadoğu’dan Batı’ya uzanıp benzer bir süreçten geçer.

En eski çağlardan beri, sayılar, sadece hesap için kullanılmadılar. Örneğin, Keldanlılar, harflere birer sayı yakıştırıp kişinin adını kullanarak tahminlerde bulunurlardı, fal bakarlardı.

Yunanlı felsefeci ve matematikçi Pitagor, herşeyi sayıların ahengi ile açıklardı. Çinliler sayılara simgesel değerler verirler, gerek geleneksel, gerekse çağdaş kabala sayıların özelliklerini incelemektedir.

Numeroloji’nin kaynakları adeta sınırsızdır, uygulanması da öyle. Konusal olarak bir ucu batıl inançlara, bir ucu ise toplumların bilinçaltına dayanır. Eski Mısır’da, Mezopotamya’da, antik Yunanistan’da, İslam öncesi Türkler’de, Araplar’da numeroloji karşımıza çıkmaktadır. Eski uygarlıkların bilginleri ve felsefecileri sayıların tutkusundan kurtulamamışlardır. Yüzyıllar geçmesine rağmen benzer bir tutkuyu, ya da açıklama ihtiyacını, Bertrand Russel’den Hitehead’e kadar, çağdaş matematikçilerde ve felsefecilerde de bulmak mümkündür. Çünkü her şeyi düzene sokmak, bir formüle bağlamak, açıklamak, değerlendirmek sayılarla olmaktadır.

Mezopotamya bilginleri için sayı sadece bir nicelik işareti değildi. Çözüldüğünde, yorumlandığında niceliği aşan bir güze sahip olan, hatta kutsal sayılan, olumlu ya da olumsuz, uğurlu ya da uğursuz bir işaretti.

Babil’de 28 sayısı kutsal sayılırdı; çünkü 28, hem kutsal sayı olan 7′nin başka bir kutsal sayı olan 4 ile çarpılmasından oluşuyor, hem de ilk 7 sayının toplamına eşitti:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Pitagor’un izleyicileri için 1 sayı sayılmazdı, diğer sayıları doğuran bir başlangıçtı. Bu yüzden ilk iki sayının (2+3) toplamından elde edilen 5 ile yine bu ilk iki sayının çarpmasından (2×3) oluşan 6′yı kutsal saymakta, fakat nedenleri açıklanmamakta, gizli kalmaktadır.

Ünlü felsefeci ve matematikçi Pitagor’un düşüncesine göre sayılar aşağıdaki anlamları kapsıyordu:

1- Özün sayısı,
2- Karşıtlık, değişiklik
3- Aracılık, bütünlük, başlangıç, orta ve son, tanrısal güç,
4- Doğruluk, adalet, dünya,
5- Evlilik,
6- Şans,
7- Evrenin tümü [Tanrısal güç (3) ile dünya (4)'ün toplamı] ya da tanrının dünya ile birleşimi,
8- Sağlamlık,
9- 3×3 ya da tüm sayıların özü,
10- Sonu olmayan yeni bir dizinin başlangıcı.

Belirli sayılar, zamanla ayrı bir anlam ve değer kazanırlar, kimi uğurlu sayılır, kimi ise uğursuz. Bu sayıları her yerde bulabiliriz; dinsel inançlarda, mitolojide, halkbilim geleneğinde, atasözlerinde vb. Museviler için 9 (3×3) doğruluğun simgesiydi. Çünkü o şaşmaz bir sayı idi:

2 x 9 = 18 (1 + 8 = 9)
3 x 9 = 27 (2 + 7 = 9)
4 x 9 = 36 (3 + 6 = 9)
5 x 9 = 45 (4 + 5 = 9)

Çeşitli kaynaklardan, inançlardan ve dinlerden, 3′ün önemini vurgulayan, sayısız örnekler çıkartmak kolaydır;

- Yunan mitolojisinde denizler tanrısı Neptün’ün üç dişli asası,
- Buda’nın işaretindeki üç alev,
- Babil’deki üçlü tanrı, Anu-Ea-Bel,
- Asur’daki benzeri üçlü tanrı, Brahma-Vişnu-Siva,
- Hristiyan dünündeki kutsal üçlü, Baba, Oğul ve Kutsal Ruh,
- Yunanlılar’da üç gazap tanrıçası, üç güzellik tanrıçası ve üç kader tanrıçası dokuz (3×3) sanat tanrıçası olarak adlandırılırdı.

Üç kadar önemli bir sayıda 7′dir:

- Antiklerin gökbiliminde dünya evrenin ortasında durur, evrenin merkezini teşkil eder, etrafında ise yedi gezegen vardır: Ay, Merkür, Venüs, Güneş, Jüpiter ve Satürn,
- Çin’de ve Japonya’da yedi değerli nesne vardır: Altın, gümüş, yakut, zümrüt, kristal, amber ve akik,
- Eski Mısır’da yedi bilgin, tanrı Ra’nın gözünden çıkıp yedi atmaca şekline girip uçarlar,
- Eskiler için dünya yedi harikaya sahiptir.
Mitolojide, dinsel inançlarda, batıl inançlarda ve halkbiliminde, kıtadan kıtaya ve uygarlıktan uygarlığa, sayılara bir önem, bir değer ve matematiksel işlevlerini aşan bir anlam tanındı. Sayılar simgesel bir boyut kazanarak, gerek doğayı gerekse insanı, giderek evreni ve evreni şekillendiren gücü açıklayabilecek nitelikte bir bilgi, ölçü ve yöntem aracı sayıldı.

buzlu.org

Düzlemsel trigonometride, iki boyutlu düzlemde (ve üçü de aynı doğru özerinde yer almayan) üç noktayı doğru parçalarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan düzlemsel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometride ise, üç boyutlu kürenin iki boyutlu olan yüzeyinde (ve üçü de aynı büyük çember üzerinde yer almayan) uç noktayı büyük çember yaylarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan küresel üçgenler söz konusudur.

Küresel trigonometri Eski Yunanlılarda astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıktı ve gelişti. Küresel trigonometri aslında düzlemsel trigonometriyi de tümüyle içerir, ama düzlemsel trigonometri ancak 15. yüzyıl Avrupa’sında, topografya, ticaret ve denizciliğin gereksinimleri doğrultusunda kendi başına ve küresel trigonometriden bağımsız olarak gelişmiştir. Küresel trigonometri, düzlemsel geometriden daha önce ortaya çıkıp gelişmiş olmakla birlikte, ancak düzlemsel geometrinin temel ilkelerinin bilinmesiyle daha iyi anlaşılabilir.

Bilimsel alanlarda kullanılan trigonometri aşağıdaki alanlarda kullanılır:Yankılanım, mimarlık, astronomi(okyanuslarda, uzayda, havada dolaşmak bunun için), biyoloji, haritacılık, kimya, sivil mühendislik, bilgisayar grafikleri, jeofizik, kristalografi(kristalleri inceleyen bilim), ekonomi(özellikle finansal marketlerde kullanılır), elektrik mühendisliği, elektronik, kara ve yersel araştırma, fizik bilimi, mekanik mühendisliği, makineler, sağlık alanı(CAT taraması ve ultrason), meteoroloji, müzik teorisi, sayı teorisi (ve bu nedenle kriptografi), okyanus coğrafyası, optik bilim, farmakoloji(ilaç bilimi), ses bilimi, olasılık teorisi, psikoloji, sismoloji(deprem bilimi), istatistik, ve görsel algılama

Trigonometrinin nasıl kullanıldığını hayal etmek zor değildir. Örnek olarak denizcilik ve haritacılık trigonometriyi kullanmak bir fırsattı ve bunların kullanımı ilk trigonometri ders kitabı için yeterli idi.müzik teorisindeki gibi trigonometri değerlendirmesi Pisagor’ un çalışmalarına bağlıdır.Farklı uzunluktaki seslerin iki farklı çıkışları olduğu Pisagor’ un dikkatini çekmiştir.Eğer bunlar benzer uzunluktaki küçük tamsayılar olsalardı, titreşen dizi şekli ve sinüs grafiği arasında benzerlik tesadüf olmazdı.

Okyanus coğrafyasındaki bazı dalga şekilleri ve sinüs fonksiyonunda ki grafiklerdeki benzerlik rastlantı değildir. Diğer alanlardaki, ekonomi, iklim bilimi, biyolojik çalışmalar, mevsimsel periyotlar, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kapsar.

buzlu.org

Ekte bulunan dosyada Tübitak 7. Dünya Zeka Olimpiyatları Matematik Soruları bulunmaktadır. Gerçekten güzel sorular.Yazının devamında bulunan zipli dosyayı indirerek soruları görebilirsiniz.

download: Olimpiyatlar Matematik (B) added: 07/06/2009 clicks: 415 description: Tübitak 7. Dünya Zeka Olimpiyatları Matematik Soruları

buzlu.org

Bu kesimde terimleri ardışık olarak hep büyüyerek devam eden ya da terimleri ardışık olarak hep küçülerek devam ederek değerler alan dizileri inceleyeceğiz.

Ayrıntılı bilgi ve dökümanı aşağıdan indirebilirsiniz..

download: Monoton Diziler (45.57KB) added: 25/05/2009 clicks: 276 description: Monoton Diziler

buzlu.org

Bir sınıfta matematik dersinden başarı gösterenler % 60, bu dersten 8 in üstünde not alanlar, başarı gösterenlerin %20 sidir.

Aynı sınıfta, coğrafya dersinden başarı gösterenler % 90 dır. Bu sınıfta coğrafya dersinden başarı gösterenlerden matematik notu 8 in üstünde olanlar, en az yüzde kaçtır?

A) 10        B) 8       C) 6        D) 4    E) 2

Ayrıntılı bilgi ve dökümanı aşağıdan indirebilirsiniz..

download: Yüzde problemleri (22.46KB) added: 25/05/2009 clicks: 232 description: Yüzde problemleri örnek soru ve cevapları

buzlu.org

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

Sonra

İLK VE SON SÜTUNLARI TOPLAYALIM

İlk sutun………….son sutun
137174205 + 1097393685

ŞİMDİDE BU İKİ DEĞERİ TOPLAYALIM

123456790

Bir garip sayı: 12345679 (Dikkat edin 8 yok)

12345679, bu sayının tek başına hiç bir özelliği yok. Ama 9 ve 9′un katları ile çarptığınız zaman bakın ortaya nasıl ilginç bir sonuç çıkıyor.

Hesap makinenizi elinize alıp sonuçları kontrol edebilirsiniz, hiç bir hile yok, matematikteki şu uyuma bakar mısınız?

12 345 679 x 9 = 111 111 111

12 345 679 x 18 = 222 222 222

12 345 679 x 27 = 333 333 333

12 345 679 x 36 = 444 444 444

12 345 679 x 45 = 555 555 555

12 345 679 x 54 = 666 666 666

12 345 679 x 63 = 777 777 777

12 345 679 x 72 = 888 888 888

12 345 679 x 81 = 999 999 999

12 345 679 x 999 999 999 = 12 345 678 987 654 321

buzlu.org

Bir Çembere Dışındaki Bir Noktadan Teğet Çizme
Bir (O,r) çemberinde dışındaki bir “T” notasından pergel ve cetvel yardımıyla teğet çizelim:

1-Çemberin merkezi ile dışındaki t noktasını birleştirelim.

2-[TO]’nın orta noktası bulunur.Bu nokta O’  olsun.|TO’| yarıçap kabul ederek,O’ merkezli çember çizilir.Bu çemberin,(O,r) çemberini kestiği noktalar “A”ve “B” olsun.

Resimli ve  geniş anlatımlı dökümanı aşağıdan indirebilirsiniz.

download: Çemberler (B) added: 16/05/2009 clicks: 288 description: Çemberler

buzlu.org

Bu bölümde dizileri, yani tanım kümesi doğal sayılar kümesi, değer kümesi, reel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan fonksiyonları inceleyeceğiz.

Yakınsak Diziler.
Önce dizi tanımını ifade edecek, sonra sıfır dizisi tanımını verecek ve daha sonra bunun yardımıyla yakınsak dizi kavramını vereceğiz. Simdi dizi kavramını verelim:
Tanım (Dizi).  Doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesi içine olan her fonksiyona dizi denir. Buna göre   f   bir diziyse,

Alltaki linkten Reel sayılar ile ilgili geniş dökümanı indirebilirsiniz.

download: Reel Sayı Dizileri (158.28KB) added: 10/05/2009 clicks: 365 description: Reel Sayı Dizileri

buzlu.org